原理说明

在可使用任意浮动 三循环 的前提下，任何非缓冲循环都可按三阶段系统归约：

阶段 1 - 缩短长循环

对每个满足 $p \ge 3$ 的非缓冲循环，应用 $\lfloor(p-1)/2\rfloor$ 次浮动 3-cycle，每步将长度缩短 2。通过合适选取循环可保持朝向 $o$ 不变。阶段 1 后，非缓冲循环仅剩 $(2,o)$ 与 $(1,o)$：

• 棱块（$O=2$）：$(2,0),\;(2,1),\;(1,1)$，其中 $(1,0)$ 视为已还原并忽略。
• 角块（$O=3$）：$(2,0),\;(2,1),\;(2,2),\;(1,1),\;(1,2)$。

阶段 2 - 配对 2-cycle（棱块）

记阶段 1 后计数为 $r_{20},\,r_{21},\,r_{11}$。按以下顺序进行归约，每次配对耗 2 个浮动公式：

1. $(2,0)+(2,0) \to$ 还原：配对数 $\lfloor r_{20}/2\rfloor$，更新 $r_{20} \leftarrow r_{20} \bmod 2$。
2. $(2,1)+(2,1) \to$ 还原：配对数 $\lfloor r_{21}/2\rfloor$，更新 $r_{21} \leftarrow r_{21} \bmod 2$。
3. 混合 $(2,0)+(2,1) \to (1,1)$：配对数 $m = \min(r_{20}, r_{21})$，并令 $r_{20} \mathrel{-}= m$、$r_{21} \mathrel{-}= m$、$r_{11} \mathrel{+}= m$。

阶段 2 结束后，最多剩余一个 2-cycle：$R = r_{20} + r_{21} \le 1$。每个贡献 $1.5$ 个公式。

阶段 2 - 配对 2-cycle（角块）

记阶段 1 后计数为 $r_{20},\,r_{21},\,r_{22},\,r_{11},\,r_{12}$。按以下顺序进行归约，每次配对耗 2 个浮动公式：

1. $(2,0)+(2,0) \to$ 还原：配对数 $\lfloor r_{20}/2\rfloor$，更新 $r_{20} \leftarrow r_{20} \bmod 2$。
2. 混合 $(2,1)+(2,2) \to$ 还原（mod 3 下翻角相消）：配对数 $\min(r_{21}, r_{22})$。
3. 同类 $(2,1)+(2,1) \to$ 翻角 $(1,\cdot)$：配对数 $\lfloor r_{21}/2\rfloor$，将 $\lfloor r_{21}/2\rfloor$ 计入 $r_{12}$，更新 $r_{21} \leftarrow r_{21} \bmod 2$。
4. 同类 $(2,2)+(2,2) \to$ 翻角 $(1,\cdot)$：配对数 $\lfloor r_{22}/2\rfloor$，将 $\lfloor r_{22}/2\rfloor$ 计入 $r_{12}$，更新 $r_{22} \leftarrow r_{22} \bmod 2$。
5. 混合 $(2,0)+(2,1) \to (1,1)$：配对数 $\min(r_{20}, r_{21})$，转入 $r_{11}$。
6. 混合 $(2,0)+(2,2) \to (1,2)$：配对数 $\min(r_{20}, r_{22})$，转入 $r_{12}$。

阶段 2 结束后，最多剩余一个 2-cycle：$R = r_{20} + r_{21} + r_{22} \le 1$。每个贡献 $1.5$ 个公式。（同类配对的记账桶——计入 $r_{11}$ 还是 $r_{12}$——不会影响最终公式数，因为阶段 3 的翻角公式对 $r_{11}$ 与 $r_{12}$ 对称。）

阶段 3 - 统计剩余公式

棱块 2 翻棱和 4 翻棱；角块 2 翻角和 3 翻角，各计为 1 个公式。

• 翻角公式：棱块为 $\lceil r_{11}/4\rceil$；角块为 $\lfloor r_{11}/3\rfloor + \lfloor r_{12}/3\rfloor + \lceil(r_{11} \bmod 3 + r_{12} \bmod 3)/3\rceil$。
• 残余 2-cycle：共 $1.5\,R$ 个公式。
• 缓冲循环长度为 $p_0$ 时贡献 $(p_0-1)/2$ 个公式。

总计：$\text{twist} + 1.5\,R + (p_0-1)/2$。实现时全部以 $2\times$ 整数形式计算，避免浮点精度误差，最后再除以 2。

注意：上述归约使用固定的贪心配对顺序，以求简洁。某些配置下，不同的配对策略可能得到更少的公式数，因此此处统计结果应视为真实最优的上界。

全浮动奇偶

当奇偶为奇且存在残余 $(2,0)$ 时，可将其吸收到缓冲循环末尾的奇偶对换中，使其成本由 $1.5$ 降到 $0.5$ 个公式，净省 1。残余 $(2,1)$ 或 $(2,2)$ 无法被干净地吸收，成本仍为 $1.5$，奇偶不会带来节省。

均值：，标准差：

均值：，标准差：

均值：，标准差：

按技巧等级统计的平均公式数（在所有有效打乱状态上计算）：

你真的会想背 2768 个全浮动三循环公式，只为了平均每把少 个公式；再多背 11088 个全浮动奇偶公式，也只再平均每把少 个公式吗？这些都只是理论上界，还没考虑人类实际能力。人生苦短，别背了～

当然我没有劝退浮动，我自己就喜欢不用新公式即兴浮动，只是想说背那么多新公式要考虑代价。

每把节省公式数的分布（相对基础）：

棱块

角块

总计

三盲打乱为奇偶为奇时，执行里必须塞进一个 2-swap（奇偶公式）。固定借位法不要求记下所有可能的奇偶配对：在 11 个非缓冲棱位上预设一个固定优先顺序，记忆时按顺序扫描，第一个可用的位置就是奇偶交换目标。索引越靠前，落进你已掌握的少数配对里的概率就越高。

奇偶为偶的打乱也可以套用这个流程，没有副作用：最坏情况下选出的槽位恰好就是循环本来就要收尾的位置，公式数不变。（这点和固定 weak swap 不同——后者无条件套用可能会增加一条公式。）

另一个小好处：选中的字母会被推迟到末尾的奇偶交换处理，所以一旦认出了应该选哪个槽位，记忆时就可以略过这个字母——比固定 weak swap 总要把 UR 字母念出来要省一点。

硬编码优先顺序：AGEDPITXKQYN

MWP = Mid-Way Parity（中途奇偶）：当某个优先字母正好落在缓冲循环内的偶数位（且朝向匹配）时，将该字母就地标作奇偶交换，不再推迟到末尾。

在 CPS 中常见地集成翻棱插入（把一个非缓冲翻棱并入奇偶交换），不过本演示暂未展示。

演示仅限奇偶为奇且原位翻转棱块数 ≤ 1 的情形。多翻转（flip > 1）情况渲染较复杂，后续如有需要再补充。

另外，此演示采用保守的「将槽位字母推迟到末尾」写法。还有一种更广义的写法——把奇偶交换放在执行流中间，使其落在本演示视为不可用的槽位上，但这要求你在执行前就知道是奇偶为奇的情况，因此只有在先记角后记棱时才实用。先记棱 + 棱 CPS 只能用这里的保守写法。

小提示：此卡片暂未把浮动归约纳入考虑。浮动与 CPS 的耦合相当微妙，目前关注的人不多——如果有更多盲拧选手感兴趣，再来打磨这块。

当三盲打乱为奇偶为奇时，执行中必须并入一个 2-swap（奇偶公式）。固定借位法通过预先设定 11 个非缓冲棱位的固定优先顺序（例如先 UR，再 UB、UL……）来处理奇偶。记忆时按顺序检查这些位置，直到找到一个可用位置作为与缓冲交换的目标。

对缓冲 UF，位置 X 在满足以下任一条件时可作为交换目标：

• UF 块在 X 上：跳过该字母，留到末尾奇偶交换处理。
• X 不在缓冲循环内：新开一个以 X 结束的循环，把交换留到最后。
• X 对应块原地翻棱：按两个字母处理（如 RU 再 UR），在循环内执行 RU，把 UR 留到末尾。

反之，X 在以下情况不可用：

• X 已正确还原：没有交换必要。
• X 位于缓冲循环中段：无法在不破坏追踪的情况下抽出。
• UF 块在 $\overline{\mathrm{X}}$（X 的反向贴纸）上：这会强制一个字母进入缓冲循环，无法后置。

这两类情况之间是一一对应：交换 UF 与 X 的实体块后，每个可用案例都对应一个不可用案例，反之亦然。因此无论奇偶如何，首选位置（索引 #1）可用概率都恰为 50%。当缓冲循环末位存在（$p_0 > 1$）时，其朝向两种可能等概率，对两侧各贡献一半。

形式化地，若某循环配置的缓冲循环长度为 $p_0$，小循环中原地还原棱块数为 $f$：

• $a = 11 - h - n$：完全可用位置数（不在缓冲循环且未还原）
• $h = \mathbf{1}_{p_0 > 1}$：缓冲循环末位；仅当朝向正确时可用（概率 $\frac{1}{2}$）
• $n = \max(0,\, p_0 - 2) + f$：永不可用位置数（缓冲循环中段 + 已还原）

对 $h$ 做一次二项分支后，得到 $a'$ 个可用位与 $n' = 11 - a'$ 个不可用位，并在 11 个优先槽中均匀分布。首个可用槽位出现在索引 $k$ 的概率为：

其中 $x^{\underline{m}} = x(x-1)\cdots(x-m+1)$ 为下降阶乘。表中 “—” 行汇总了 $a' = 0$（不存在可用目标）的配置。

索引 #12–#22 表示无可用借位位置（无棱小循环且停在错朝向棱块）的情况，均匀分摊以让曲线连续。

同样的流程，缓冲位 UFR，覆盖 7 个非缓冲角位。缓冲循环末位的可用概率为 $\tfrac{1}{3}$（棱为 $\tfrac{1}{2}$），因为角块有三种朝向。

索引 #8–#21 表示无可用借位位置的情况，均匀分摊到 14 个槽位以让曲线连续。

均值：，标准差：

均值：，标准差：

均值：，标准差：

由朝向对称性可知，原地还原棱块数（不含缓冲）服从同一分布。

均值：，标准差：

触发 4-翻棱或 3-翻角公式的概率。4-翻棱：open1>=3。3-翻角：cwTwist>=3 || ccwTwist>=3 || cwTwist==2 && ccwTwist==0 || ccwTwist==2 && cwTwist==0.

LTCT（Last Target Corner Twist）将最后一个角目标的处理与两角翻转合并为一个公式，可节省 1 个翻角公式。要求奇偶为奇，且至少有一个非缓冲翻角（open1>=1）。

T2C（Twisted 2 Corners）用于缓冲角已翻且另外两角互换时，把交换与缓冲解翻合并为一个公式来处理最后角目标。要求奇偶为奇，且至少存在一个错朝向小循环 2-cycle（open2>=1）。

注：实际中多数 BLD 选手只专精固定棱对（如 UF-UR）下的 LTCT 或 T2C，因此真正可用的情况会更少；在固定借位法下，通常约为上表的一半。

任意操作序列重复足够多次后都将回到初始状态。其阶即所需重复次数。下表给出每个阶对应的不同魔方状态（打乱）数量。

均值：，标准差：

翼棱奇偶计为 1 个公式。

按技巧等级统计的平均翼棱公式数（在所有 4x4x4 翼棱状态上计算）：

每把节省公式数的分布（相对基础）：

均值：，标准差：

均值：，标准差：

均值：，标准差：

均值：，标准差：

均值：，标准差：